Question

已知集合M={f（x）|f（x）满足f（x+T）=Tf（x）}，
（Ⅰ）若f（x）=x，请判断f（x）是否属于M？
（Ⅱ）若x=T是方程a^x=x的解，求证：f（x）=a^x属于M．
（Ⅲ）若f（x）=sinkx属于M，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可利用f（x+T）=Tf（x）进行判断；当f（x）=x时，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，x+T≠Tx，从而可作出判断；
（Ⅱ）依题意，a^T=T，于是可得f（T+x）=Tf（x），从而可证f（x）=a^x属于M．
（Ⅲ）由sin（kx+kT）=Tsinkx⇒T=±1，对T分类讨论即可求得k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵x+T≠Tx，
∴f（x）=x∉M；
（Ⅱ）∵a^x=x的解为x=T
∴a^T=T，
∴f（T+x）=a^x+T=a^xa^T=Ta^x=Tf（x）．
∴此时的f（x）∈M．
（Ⅲ）∵sin（kx+kT）=Tsinkx，
∴T=±1，
当T=1时，sin（kx+k）=sinkx，k=2mπ；m∈Z，
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx，k=（2m-1）π．m∈Z，
∴k=nπ，n∈Z．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查指数函数的运算性质与三角函数的周期性与最值的综合应用，属于难题．