Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx．
（Ⅰ）若sinx=

4

5

，x∈[

π

2

，π]，求函数f（x）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系求出cosx，再利用三角函数的恒等变换化简f（x），从而求得结果．
（Ⅱ）根据 f(x)=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)，求出周期和值域．

解答：解：（Ⅰ）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

，π]，∴cosx=-

3

5

．…（2分）
又f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx…（3分）
=

3

sinx-cosx，…（4分）
∴f(x)=

4

5

3

+

3

5

．…（6分）
（Ⅱ） f(x)=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)，…（8分）
∴T=

2π

|ω|

=2π，…（10分）
∵x∈R，∴-2≤2sin(x-

π

6

)≤2，…（11分）
所以函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[-2，2]．                 …（12分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域、值域 及周期性，属于中档题．