Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．

Answer 1

考点：

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

专题：

计算题．

分析：

（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；

（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间

解答：

解：（I）由图象可知，周期T=2（﹣）=π，∴ω==2

∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0

∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+，k∈z

∵0＜φ＜

∴φ=

∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2

∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）

（II）g（x）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）

=2sin2x﹣2（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x

=2sin（2x﹣）

由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈z

得kπ﹣≤x≤kπ+

∴函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z

点评：

本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题