Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{π}{6}$，a_n+1∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（1）求{tan²a_n}的前n项和；
（2）求正整数m，使得11sina₁•sina₂…sina_m=1．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的关系式，利用构造法证明{tan²a_n}是等差数列，即可求出数列的前n项和；
（2）求出tana_n，cosa_n，将条件进行转化，解方程即可．

解答 解：（1）∵tana_n+1•cosa_n=1，
∴tana_n+1≠0，cosa_n=≠0，
则tana_n+1=$\frac{1}{cos{a}_{n}}$=seca_n，
平方得tan²a_n+1=sec²a_n=1+tan²a_n，
即tan²a_n+1-tan²a_n=1，
即{tan²a_n}是公差为1的等差数列，
首项为tan²a₁=tan²$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$，
则{tan²a_n}的前n项和S=$\frac{1}{3}n+\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{6}n$；
（2）由（1）知tana_n=$\sqrt{\frac{3n-2}{3}}$，cosa_n=$\sqrt{\frac{3}{3n+1}}$，
则sina₁•sina₂…sina_m=（tana₁•cosa₁）•（tana₂•cosa₂）…（tana_m•cosa_m）
=（tana₂•cosa₁）•（tana₃•cosa₂）…（tana_m•cosa_m-1）•（tana₁•cosa_m）
=tana₁•cosa_m=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\sqrt{\frac{3}{3m+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{3m+1}}$，
∵11sina₁•sina₂…sina_m=1．
∴sina₁•sina₂…sina_m=$\frac{1}{11}$．
即$\sqrt{\frac{1}{3m+1}}$=$\frac{1}{11}$．
即$\frac{1}{3m+1}=\frac{1}{121}$，
则3m+1=121，
3m=120，解得n=40．

点评 本题主要考查数列求和以及递推数列的应用，利用三角函数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．