Question

设函数f（x）=lnx-px+1
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围；
（3）证明：

ln22

22

+

ln32

32

+A+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解方程，求出f（x）的极值点；
（2）由（1）利用导数研究函数的单调区间，求出f（x）的极大值，再求出f（x）的最大值小于0，即可求出p的范围；
（3）可以令p=1，得出不等式lnx≤x-1，将x换为n²，利用不等式lnn²≤n²-1，进行放缩证明；

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-px+1，∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-p=

1-px

x

当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点，
当p＞0时，令f′（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0， 1 p ）	1 p	（ 1 p ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点x=

1

p

，
（2）当p＞0时，在x=

1

p

处取得极大值f（

1

p

）=ln

1

p

，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需f（

1

p

）=ln

1

p

≤0；
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）
（3）令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2，
∴lnn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，
∴

ln22

2

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤（1-

1

22

）+（1-

1

32

）+…+（1-

1

n2

）
=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

）
＜（n-1）-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

n+1

）
=

2n2-n-1

2(n+1)

即证；

点评：此题主要考查函数的单调性以及函数在极值点取得极值点条件，第三问利用不等式进行放缩，同学们要认真看放缩的过程，这类题比较难，是高考的压轴题；