Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，公差d≠0，
（1）若a₁，a₂，a₄成等比数列，求a_n；
（2）已知a₅＜0，若当且仅当n=5时，|a_n|取得最小值，求d的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由题意可设a_n=2+（n-1）d，d≠0（1）若a₁，a₂，a₄成等比数列，则，即（2+d）²=2•（2+3d），解此方程可得d，代回原式可得答案；
（2）由a₅＜0，可得，又当且仅当n=5时，|a_n|取得最小值，故，即，解不等式组可得d的范围．
解答：解：由题意可设a_n=2+（n-1）d，d≠0，-------------------（1分）
（1）若a₁，a₂，a₄成等比数列，则，------------------（2分）
即（2+d）²=2•（2+3d），化简得d（d-2）=0，
∵d≠0，∴d=2，----------------------------（4分）
∴a_n=2n------------------------------------------------------（5分）
（2）∵a₅＜0，∴2+4d＜0，得，--------------（6分），
若当且仅当n=5时，|a_n|取得最小值，则，
即，得，---------------------------（9分）
又，∴，
即d的取值范围是．-----------------------（10分）
点评：本题为等差与等比数列的结合，准确把条件转化为不等式来求解是解决问题的关键，属基础题．