Question

设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0，1)以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f(αx₁＋(1－α)x₂)≤αf(x₁)＋(1－α)f(x₂)，则称f(x)为定义在D上的C函数．

(1)试判断函数f₁(x)＝x²，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；

(2)已知f(x)是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n＝f(n)，n＝0，1，2…，m，且a₀＝0，a_m＝2m，记S_f＝a₁＋a₂＋…＋a_m．对于满足条件的任意函数f(x)，试求S_f的最大值；

(3)若f(x)是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的C函数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)是C函数，证明如下： 　　对任意实数及， 　　有． 　　即． 　　∴是C函数．不是C函数，证明如下： 　　取，，， 　　则． 　　即．∴不是C函数．　　4分 　　(2)对任意，取，，．是R上的C函数，，且 　　∴． 　　那么． 　　可证是C函数，且使得都成立，此时． 　　综上所述，的最大值为．　　9分 　　(3)假设是R上的C函数． 　　若存在且，使得． 　　若， 　　记，，，则，且． 　　那么 　　这与矛盾． 　　若，记，，也可得到矛盾． 　　∴在上是常数函数， 　　又因为是周期为T的函数，所以在R上是常数函数，这与的最小正周期为T矛盾． 　　所以不是R上的C函数．　　14分