题目内容

四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=4， $数学公式$ ，AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=2，CF=4．则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：根据题意，先设EC与AF交与点O，过点O作OG⊥面ABCD，垂足为G；由图分析可得，四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分为四棱锥O-ABCD；根据线面垂直的性质和平面的基本性质，可得CF、OG、AE两两平行且共面；进而在平面FCAE中，计算可得OG的值，依题意，易得底面菱形ABCD的面积，由棱锥体积公式，计算可得答案．
解答：

解：根据题意，设EC与AF交与点O，过点O作OG⊥面ABCD，垂足为G；
分析可得，四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分为四棱锥O-ABCD；
依题意，AE，CF都与平面ABCD垂直，OG⊥面ABCD，
可得CF、OG、AE两两平行且共面；
又由AE=2，CF=4，
由平行线的性质，可得OG= $\text{[math]}$ ，
菱形中，对角线AC=4， $\text{[math]}$ ，可得其面积S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 4=4 $\text{[math]}$ ，
故其体积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 4 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
故选A．
点评：本题考查组合体的体积计算，难点在于分析出其公共部分的形状，进而据其体积公式进行计算，要加强空间想象力的培养．

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四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2

，AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=2，CF=4．则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积为（　　）

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