Question

13．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，斜率为$\sqrt{3}$的直线，经过双曲线Γ的右焦点F₂与双曲线Γ在第一象限交于点P，若△PF₁F₂是等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由题可知，等腰三角形的底为PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，可得P的坐标，代入双曲线方程，进而计算可得结论．

解答 解：由题可知，等腰三角形的底为PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，
∴P（2c，$\sqrt{3}$c）
代入双曲线方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴4e⁴-8e²+1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查求双曲线的离心率，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．