Question

在x轴同侧的两个圆：动圆C₁和圆4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0外切（a，b∈N，a≠0），且动圆C₁与x轴相切，求：
（1）动圆C₁的圆心轨迹方程L；
（2）若直线4（

7

-1）abx-4ay+b²+a²-6958a=0与曲线L有且仅有一个公共点，求a，b之值．

Answer 1

分析：（1）由4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0可得(x-

b

2a

)2+(y-

1

4a

)2=(

1

4a

)2，利用动圆C₁和圆4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0外切（a，b∈N，a≠0），且动圆C₁与x轴相切，建立方程，即可求动圆C₁的圆心轨迹方程L；
（2）直线代入曲线，消去y，利用△=0，再代入换元，即可求得结论．

解答：解：（1）由4a²x²+4a²y²-4abx-2ay+b²=0可得(x-

b

2a

)2+(y-

1

4a

)2=(

1

4a

)2，
由a，b∈N，以及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，
设动圆圆心坐标为（x，y），
则有

(x- b 2a )2+(y- 1 4a )2

=y+

1

4a

，
整理得到动圆圆心轨迹方程y=ax2-bx+

b2

4a

（x≠

b

2a

）．
（2）直线代入曲线，消去y得-4a²x²-4

7

abx-（a²-6958a）=0，
由△=16×7a²b²+16a²（a²-6958a）=0，
整理得7b²+a²=6958a①
令a=7a₁，代入③可得b2+7a12=6958a₁，
再令b=7b₁，代入上式得7b12+a12=994a₁，
从而可令a=49n，b=49m代入①可得7m²+n²=142n②
对②进行配方，得 （n-71）²+7m²=71²
对此式进行奇偶分析，可知m，n均为偶数，所以7m²=71²-（n-71）²为8的倍数，
令m=4r，则112r²≤71²，∴r²≤45．
∴|r|=0，1，2，3，4，5，6
仅当|r|=0，4时，71²-112r²为完全平方数．
于是解得

a=6272 b=784

或

a=686 b=784

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，求a，b的值有难度．