Question

三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心.

（Ⅰ）求证∥面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）设为中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结交于点，连结.为正三角形的中心，

∴,且为中点.又，

 ∴∥,                 

平面，平面

∴∥面．             

（Ⅱ）,且为中点, ∴,

又平面平面，∴平面, 

由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴ 

连结,则,又,

∴平面,∴．

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，两两互相垂直，且为中点，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则

∴

设平面的法向量为，则，

令，则．                              

由（Ⅱ）知平面,∴为平面的法向量，

∴，

由图可知，二面角的余弦值为 ．