Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，

3

2

），离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线x+y+1=0与椭圆E相交于A、B（B在A上方）两点，问是否存在直线l，使l与椭圆相交于C、D（C在D上方）两点且ABCD为平行四边形，若存在，求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义和离心率的计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用椭圆的对称性可知存在满足题意的平行四边形，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可求出其面积．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意可得

1 a2 + 9 4b2 =1 a2-b2 a2 = 1 4

解得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）如图所示，由于直线x+y+1=0过椭圆的左焦点F₁（-1，0），且斜率为-1，由对称性可知，存在直线l过椭圆的右焦点F₂（1，0），
且斜率为-1的直线l：x+y-1=0符合题意．
直线x+y+1=0与直线x+y-1=0的距离为d=

|-1-1|

2

=

2

．
联立

x+y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

得7x²-8x-8=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

．
∴|CD|=

(1+1)[( 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．
故平行四边形ABCD的面积S=

24

7

×

2

=

24 2

7

．

点评：熟练掌握椭圆的定义和离心率的计算公式、椭圆的对称性、弦长公式和点到直线的距离公式是解题的关键．