Question

17．已知函数f（x）=xcosx-sinx，当x∈[-3π，3π]时，函数f（x）的零点个数是（　　）

• A． 7
• B． 5
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（I）∵f（x）=xcosx-sinx，
∴f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
当f′（x）＞0时，得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤3π}\\{sinx＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3π≤x＜0}\\{sinx＞0}\end{array}\right.$，

∴π＜x＜2π，或-2π＜x＜-π，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0时，xsinx＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤3π}\\{sinx＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3π≤x＜0}\\{sinx＜0}\end{array}\right.$，
即0＜x＜π或2π＜x＜3π，或-3π＜x＜-2π或-π＜x＜0，此时函数单调递减，
当x=π，-2π，函数f（x）取极小值，此时f（π）=-π，f（-2π）=-2π，
当x=-π，2π，时，函数f（x）取极大值，此时f（-π）=π，f（2π）=2π，
又f（3π）=-3π，f（-3π）=3π，f（0）=0，
作出函数f（x）的草图如图，
则由图象知函数f（x）的零点个数，5个，
故选：B

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．