Question

设f(n)＞0(n∈N₊)且f(2)=4,对任意n₁,n₂∈N₊,有f(n₁+n₂)=f(n₁)·f(n₂)恒成立,猜想f(n)的一个表达式.

Answer 1

解析:可先由n₁、n₂取特殊值,求得函数值以后再观察规律,猜想.

解:∵f(2)=4,对任意n₁、n₂∈N,有f(n₁+n₂)=f(n₁)·f(n₂)恒成立.

∴f(2)=f(1+1)=f(1)²=4.

∵f(n)＞0,∴f(1)=2,

f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=2³,

f(4)=f(1+3)=f(1)f(3)=2⁴.

猜想f(n)=2ⁿ.