Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e为自然对数的底，a，b，c为常数，若函数f(x)在x=-2处取得极值，且

lim

x→0

f(x)-c

x

=-4．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对函数求导，根据函数的极值，写出函数的导数在2的结果是0，根据极限的值写出关系式，得到b，c的值．
（II）函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，得到ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，转化为函数的恒成立问题，分离参数，求函数的最值，只要大于最大值就可以．

解答：解：（I）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（b+2a）x+b+c]e^x
由f'（-2）=0
4a-2（b+2a）+b+c=0
b=c，
由

lim

x→0

f(x)-c

x

=4得到：f′(0)=4，所以b+c=4，
所以b=2，c=2；  
（II）由题意知道ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，
即a≥-

2x+4

x2+2x

在x∈[1，2]时恒成立，设g(x)=-

2x+4

x2+2x

，x∈[1，2]，
则g(x)=-

2

x

在区间[1，2]上单调递增，所以g(x)的最大值为g(2)=-1，
所以a≥-1．

点评：本题看出函数在某一个点取得极值的条件，本题解题的关键是写出函数的恒成立的等价条件，对函数进行变形，即分离参数．