Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a_n=5S_n-3（n∈N）求

lim

n→∞

（a₁+a₃+…+a_2n-1）的值．

Answer 1

分析：由题意可知数列{a_n}是首项a₁=

3

4

，公比q=-

1

4

的等比数列．由此知数列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1是首项为a₁=

3

4

，公比为(-

1

4

)2的等比数列．由此可以求出

lim

n→∞

（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）的值．

解答：解：由S_n=a₁+a₂++a_n知
a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
a₁=S₁，
由已知a_n=5S_n-3得
a_n-1=5S_n-1-3．
于是a_n-a_n-1
=5（S_n-S_n-1）
=5a_n，
所以a_n=-

1

4

a_n-1．
由a₁=5S₁-3，
得a₁=

3

4

．
所以，数列{a_n}是首项a₁=

3

4

，公比q=-

1

4

的等比数列．
由此知数列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1，
是首项为a₁=

3

4

，公比为(-

1

4

)2的等比数列．
∴

lim

n→∞

（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）=

3 4

1-(- 1 4 )2

=

4

5

．

点评：本题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，解题时要注意培养计算能力．