Question

设

a

，

b

是两个互相垂直的单位向量，已知向量

m

=k

a

+

b

，

n

=

a

+k

b

，(k＞0)且向量

m

与

n

夹角θ的余弦值为f(k)，
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜

-3ak2+(a2+4)k

k4+6k2+1

，(a∈R)．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，|

a

|=|

b

|=1可求

m

•

n

=2k，|

m

|2=(k

a

+

b

)2=1+k2，|

n

|2=

1+k2

，代入f（k）=cosθ=

m • n

| m | | n |

可求θ∈[0，

1

2

π)
（2）由1+2k²≥2k可得f（k）∈（0，1]结合θ=60°可知cosθ=

2k

1+k2

=

1

2

，可求k
（3）由（1）可得f[f（k）]=

2× 2k 1+k2

1+( 2k 1+k2 )2

=

4k(1+k2)

1+6k2+k4

＜

-3ak2+(4+a2)k

1+6k2+k4

?4k(k+a)(k-

a

4

)＜0，k＞0，分类讨论：分a＞0时，当a=0时，当a＜0时，三种情况分别求解

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

∴

a

•

b

=0，
∵|

a

|=|

b

|=1
∴

m

•

n

=(k

a

+

b

)(

a

+k

b

)=k

a

2+(1+k2 )

a

•

b

+k

b

2=2k
∵|

m

|2=(k

a

+

b

)2=1+k2，同理可得|

n

|2=

1+k2

  
∴f（k）=cosθ=

m • n

| m | | n |

=

2k

1+k2

（k＞0）…（4分）
（2）因为1+2k²≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=

2k

1+k2

=

1

2

∴k=2±

3

  （8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（

2k

1+k2

）=

2× 2k 1+k2

1+( 2k 1+k2 )2

=

4k(1+k2)

1+6k2+k4

＜

-3ak2+(4+a2)k

1+6k2+k4

?4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
?k（4k²+3ak-a²）＜0
?4k(k+a)(k-

a

4

)＜0，
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜

a

4

当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜

a

4

}；
当a=0时，解集为∅
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的应用，向量夹角公式的应用，及不等式的求解，属于综合试题