Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（I）求角B；
（II）若，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）把已知的等式变形，利用正弦定理化简，再根据两角和与差的正弦函数公式及诱导公式进行变形，根据sinA不为0，在等式两边同时除以sinA，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由第一问求出的B的度数，得到sinB的值，同时利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，配方化简后，把cosB，b，及a+c的值代入，求出ac的值，最后由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（I）由已知得，由正弦定理得．
即2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0．…3分
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴，∴；…6分
（II）由（I）得．…7分
将代入b²=a²+c²-2accosB中，得ac=3．…10分
∴．…12分．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．