Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心；
（Ⅱ）说明此函数图象可由y=sinx的图象经怎样的变换得到；
（Ⅲ）求f（x）在区间x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由最值求得A，由周期求得ω，根据当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值3求得α，可得函数f（x）的解析式，从而求得它的图象的对称中心．
（II）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（III）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件可知：A=3，由$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，根据f（$\frac{π}{6}$）=3sin（2×$\frac{π}{6}$+α）=3，可得α+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
根据-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，可得α=$\frac{π}{6}$，f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得函数的对称中心为（ $\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（II）把y=sinx先向左平移$\frac{π}{6}$个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩小为原来$\frac{1}{2}$倍，再将横坐标不变，纵坐标扩大为原来3倍，
得到f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．
（III）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即f（x）值域为[$\frac{3}{2}$，3]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．