Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a、b、c成等比数列．
（1）求

c

a

的值．
（2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F₁AB=90°．
（3）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-2

PF2

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由b²=ac及b²=a²-c²能够推导出

c

a

的值．
（2）由题设条件可得

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，由此导出∠F₁AB=90°．
（3）由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），求出R点坐标利用题设条件进行求解．

解答：解：（1）由题设b²=ac及b²=a²-c²，得

c

a

=

5 -1

2

．
（2）由题设A（0，b），B（a，0），又F₁（-c，0），
得

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，
于是

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，
故∠F₁AB=90°．（10分）
（3）由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F₂（c，0），及

RP

=-2

PF2

，得点P的坐标为（2c，kc），（12分）
因为点P在椭圆上，
所以

(2c)2

a2

+

(kc)2

b2

=1，
又b²=ac，得4(

c

a

)2+k2•

c

a

=1，k2=

5-3 5

2

＜0，与k²≥0矛盾，
故不存在满足题意的直线l．

点评：本题考查椭圆性质的灵活运用和椭圆与直线的位置关系，难度较大，解题时要认真审题仔细解答．