Question

（2012•自贡一模）已知数列{an}满足a1=1，an+1=

an

3an+1

（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）记Sn=a1a2+a2a3+…anan+1，求

lim

x→∞

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）　由题意可得

1

an+1

-

1

an

=3，结合等差数列的通项公式可求

1

an

，进而可求a_n
（Ⅱ）由anan+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=(

1

3n-2

-

1

3n+1

)×

1

3

，考虑利用裂项求和即可求S_n，从而可求极限

解答：解：（Ⅰ）　由an+1=

an

3an+1

得 

1

an+1

-

1

an

=3（3分）
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列
∴

1

an

=1+3(n-1)
即an=

1

3n-2

（6分）
（Ⅱ）∵anan+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=(

1

3n-2

-

1

3n+1

)×

1

3

（9分）
∴Sn=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+(

1

7

-

1

10

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

∴limSn=

1

3

（12分）

点评：本题主要考查了由形如an+1=

qan

pan+q

型的递推公式，构造等差数列

1

an+1

=

1

an

+

p

q

求解通项公式，裂项求和的应用，要注意

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)时，

1

3

不要漏掉