Question

已知（x＞0，a是常数），若对曲线y=f（x）上任意一点P（x₀，y₀）处的切线y=g（x），f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：依题意，…（1分）y₀=f（x₀），曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线为…（2分），
即，所以…（3分）
直接计算得…（5分），
直接计算得f（x）≥g（x）等价于…（7分）
记，则…（8分）
若a²+a≤0，则由h′（x）=0，得x=x₀…（9分），
且当0＜x＜x₀时，h′（x）＜0，当x＞x₀时，h′（x）＞0…（10分），
所以h（x）在x=x₀处取得极小值，从而也是最小值，即h（x）≥h（x₀）=0，从而f（x）≥g（x）恒成立…（11分）．
若a²+a＞0，取，则，
且当x₁≠x₀时h′（x）＞0，h（x）单调递增…（12分），
所以当0＜x＜x₀时，h（x）＜h（x₀）=0，与f（x）≥g（x）恒成立矛盾，所以a²+a≤0…（13分），
从而a的取值范围为-1≤a≤0…（14分）
分析：求出先求然后求出f'（x），再根据切点坐标，求出f'（x₀）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；再将f（x）≥g（x）恒成立，转化为，记，利用导数研究其单调性和最值，然后分类讨论建立关于a不等式，解之即可求出a的取值范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．