Question

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

Y

 

y2=2px

B

 

 

 

 

X

Q(2p,0)

O

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由题意，直线AB不能是水平线，  故可设直线方程为：.       又设，则其坐标满足       消去x得        由此得               因此.       故O必在圆H的圆周上.       又由题意圆心H（）是AB的中点，故             由前已证，OH应是圆H的半径，且.       从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.       此时，直线AB的方程为：x=2p.       解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p       又设，则其坐标满足       分别消去x，y得       故得A、B所在圆的方程       明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，       又知A、B中点H的坐标为       故       而前面圆的方程可表示为       故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.       又，       故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.       解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上       又直径|AB|=       上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.       此时直线AB的方程为x=2p.