Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有a_n是n与S_n的等差中项．
（1）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n是n与S_n的等差中项，可得2a_n=n+S_n，再写一式，两式相减，即可证明{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）根据（1）中的结论，求得数列的通项，利用求和公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵a_n是n与S_n的等差中项，∴2a_n=n+S_n①
于是2a_n-1=n-1+S_n-1（n≥2）②
①-②得a_n=2a_n-1+1（n≥2），即a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
当n=1时，2a₁=1+S₁，∴a₁=1，a₁+1=2．
所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．   …（6分）
（2）解：∵an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．            …（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，解题的关键是证明等比数列，确定数列的通项，属于中档题．