Question

（2012•海淀区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点P，CP=

7

5

，PD=5，AP=1，则∠DCB=

45°

．

Answer 1

分析：利用相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，可得PB=7．由直径2R=AP+PB=1+7=8，可求得半径R=4，OP=OA-AP=4-1=3．连接DO，在△ODP中，OP²+OD²=3²+4²=5²=PD²，利用勾股定理的逆定理可得∠POD=90°．连接BD，由等腰直角△DOB可得DB=

2

R．利用正弦定理可得：

DB

sin∠DCB

=2R，由图可知：∠DCB为锐角，即可求出．

解答：解：由相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，∴PB=

CP•PD

AP

=

7 5 ×5

1

=7．
∴直径2R=AP+PB=1+7=8，∴半径R=4．∴OP=OA-AP=4-1=3．
连接DO，在△ODP中，OP²+OD²=3²+4²=5²=PD²，
∴∠POD=90°．
连接BD，由等腰直角△DOB可得：DB=

2

R．
由正弦定理可得：

DB

sin∠DCB

=2R，∴sin∠DCB=

DB

2R

=

2

2

，
由图可知：∠DCB为锐角，∴∠DCB=45°．
故答案为45°．

点评：熟练掌握相交弦定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、正弦定理是解题的关键．