Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

（A＞0，ω＞0）图象上的一个最高点的坐标为（

π

8

，2

2

），则此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）试求这条曲线的函数表达式；
（2）求函数的对称中心；
（3）用”五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象；
（4）试说明y=sin2x的图象是由y=f（x）的图象经过怎样的变换得到的？

Answer 1

（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

最高点的坐标为（

π

8

，2

2

），
则此点到相邻最低点间的曲线与平衡轴交于点（

3

8

π，0），
∴A=

2

，

T

4

=

π

4

，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=

2

sin（2x+φ）+

2

∵过（

π

8

，2

2

）点，
∴2

2

=

2

sin（2x+φ）+

2

∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴φ=

π

4

，
∴函数的解析式是f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

（2）∵正弦曲线的对称中心是（kπ，0）
∴2x+

π

4

=kπ，k∈z
∴x=

kπ

2

-

π

8

，
∴函数的对称中心是（

kπ

2

-

π

8

，

2

）
（3）

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	1+ 2	2 2	2	0	2	1+ 2

图形如右图

（4）y=f（x）先向下平移

2

个单位得到
f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再横标不变纵标变化为原来的

2

2

得到
f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

个单位得到y=sin2x