Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

．（a∈R）
（1）求证：f（x）是增函数；
（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值．．

Answer 1

分析：（1）先设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，结合已知只要判断f（x₁）-f（x₂）＜0即可
（2）方法1由题意可得f（-x）=-f（x），代入可求a，进而可求f（x）
方法2：由奇函数的性质可得f（0）=0，代入可求a

解答：证明：（1）∵f（x）的定义域为R，设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）方法1∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2.2x

1+2x

=

2(2x+1)

2x+1

=2
解得：a=1
∴f(x)=1-

2

2x+1

．
方法2：函数的定义域是R，由奇函数的性质可得f（0）=a-1=0．
∴a=1

点评：单调性的定义是证明函数具有单调性的常用方法，其基本步骤中的关键是作差后的变形形式，而奇函数性质f（0）=0的应用可以简化基本运算