题目内容

定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（　　）
A．f（
π
6
）＞
3
f（
π
3
）		B．f（
π
6
）＜
3
f（
π
3
）		C．
3
f（
π
6
）＞f（
π
3
）		D．
3
f（
π
6
）＜f（
π
3
）
因为x∈（0，
π
2
），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=
f(x)
sinx
，x∈（0，
π
2
），则g′（x）=
f′(x)sinx-f(x)cosx
sin2x
＞0．
所以函数g（x）=
f(x)
sinx
在x∈（0，
π
2
）上为增函数，
则g（
π
2
）＜g（
π
3
），即
f(
π
6
)
sin
π
6
＜
f(
π
3
)
sin
π
3
，所以
f(
π
6
)
1
2
＜
f(
π
3
)
3
2
，
即
3
f（
π
6
）＜f（
π
3
）．
故选D．
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（2013•济宁二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（　　）
定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=
3x9x+1
，
（1）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（2）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？
（2013•湖州二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）
定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）
A．
3
f(
π
4
)＞
2
f(
π
3
)		B．f(1)＜2f(
π
6
)sin1
C．
2
f(
π
6
)＞f(
π
4
)		D．
3
f(
π
6
)＜f(
π
3
)

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