Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）．
（I）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（II）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-

π

6

），由此求得最小正周期以及对称轴方程．
（II）由-

π

12

≤x≤

π

12

，求得 2x-

π

6

 的范围，从而求得函数 f（x）=2sin（2x-

π

6

）的值域．

解答：解：（I）求函数f（x）=2

3

sinxcosx-2cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）=

3

sin2x+sin（2x-

π

2

）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，再由2x-

π

6

=kπ+

π

2

可得对称轴方程为 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈z．
（II）∵-

π

12

≤x≤

π

12

，∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，故当 2x-

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为2，当 2x-

π

6

=-

π

3

时，函数取得最小值为-2

3

×

1

2

=-

3

，
故函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

，2]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、周期性，以及定义域、值域，属于中档题．