Question

【题目】已知：正三棱柱中， ， ， 为棱的中点．

（）求证： 平面．

（）求证：平面平面．

（）求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】试题分析：

（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线的平面与平面的交线（其中是与的交点），而由中位线定理易得，从而得线面平行；

（2）由于是正三角形，因此有，从而只要再证与平面内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；

（3）要求四棱锥的体积，由正三棱柱的性质知中，边的高就是四棱锥的高，再求得四边形的面积，即可得体积．

试题解析：

（）证明：连接，交于点，连接，

∵在中，

， 分别是， 中点，

∴，

∵平面，

平面，

∴平面，

（）证明：∵在等边中，

是棱中点，

∴，

又∵在正三棱柱中，

平面，

平面，

∴，

∵点，

， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（）作于点，

∴是四棱锥高，

，

底面积，

．