Question

设椭圆C：

x2

a2

+y2=1（a＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x²+y²=c²有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为

3

-

2

，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，a＞1，方程组

x2 a2 +y2=1 x2+y2=c2

有实数解，从而(1-

1

a2

)x2=c2-1≥0，由此能得到a的取值范围．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F₂（c，0）的距离为d，则d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-

x2

a2

=

c2

a2

x2-2cx+c2+1
=

c2

a2

(x-

a2

c

)2（-a≤x≤a）．由

a2

c

＞a，当x=a时，d_min=a-c，于是，

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，由此能导出所求椭圆方程．
（Ⅲ）由

y=kx+m x2+3y2=3

，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0．由直线l与椭圆交于不同两点，知△＞0，由此入手能求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知，a＞1，
∴方程组

x2 a2 +y2=1 x2+y2=c2

有实数解，从而(1-

1

a2

)x2=c2-1≥0，
故c²≥1，所以a²≥2，即a的取值范围是[

2

，+∞)．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F₂（c，0）的距离为d，
则d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-

x2

a2

=

c2

a2

x2-2cx+c2+1
=

c2

a2

(x-

a2

c

)2（-a≤x≤a）．
∵

a2

c

＞a，
∴当x=a时，d_min=a-c，
（可以直接用结论）
于是，

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，
解得

a= 3 c= 2

．
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅲ）由

y=kx+m x2+3y2=3

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0（*）
∵直线l与椭圆交于不同两点，
∴△＞0，即m²＜3k²+1．①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个实数解，
∴x1+x2=-

6mk

3k2+1

，
∴线段MN的中点为Q(-

3mk

3k2+1

，

m

3k2+1

)，
又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1（k≠0）②
由①，②得m²＜2m，0＜m＜2，又由②得m＞

1

2

，
∴实数m的取值范围是(

1

2

，2)．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．