Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为2定值，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（0，-1），若斜率为k（k≠0）的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|=|MB|，试求k的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵x²-y²=1，
∴c=，|PF₁|+|PF₂|=2，a=，b=1，
∴P点的轨迹方程为+y²=1。
（2）设l：y=kx+m（k≠0），
则由，
将②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0， （*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则AB中点Q（x₀，y₀）的坐标满足：x₀=，
即Q，
∵|MA|=|MB|，
∴M在AB的中垂线上，
∴k_lk_AB=k·=-1，解得m=，…③
又由于（*）式有两个实数根，知△＞0，
即 （6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0， ④
将③代入④得12[1+3k²-（）²]＞0，
解得-1＜k＜1，
由k≠0，
∴k的取值范围是k∈（-1，0）∪（0，1）。