Question

（2013•奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20

2

海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5

13

．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=-

2 13

13

（1）求cosθ； 
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC的值，根据cosθ=cos(

3π

4

-∠EAC)，利用两角差的余弦公式求得结果．
（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．

解答：解：（1）∵cos∠EAC=-

2 13

13

，∴sin∠EAC=

1-cos2∠EAC

=

3 13

13

．（2分）
∴cosθ=cos(

3π

4

-∠EAC)=cos

3π

4

•cos∠EAC+sin

3π

4

•sin∠EAC=-

2

2

×(-

2 13

13

)+

2

2

×

3 13

13

=

5 26

26

．（6分）
（2）利用余弦定理求得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ=125，∴BC=5

5

．（10分）
又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5

5

海里，
该船的行驶速度v=

5 5

1 3

=15

5

（海里/小时）．（14分）

点评：本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．