Question

12．①已知：3S_n=2a_n+1，求a_n
②a₁=1，a_n+1=2a_n+4，求a_n．

Answer 1

分析 ①通过3S_n=2a_n+1，利用a_n+1=S_n+1-S_n可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-2，结合3a₁=2a₁+1计算可得结论；
②通过对a_n+1=2a_n+4变形可得数列{a_n+4}是以2为公比的等比数列，利用a₁=1计算即得结论．

解答 解：①∵3S_n=2a_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（$\frac{2}{3}$a_n+1+1）-（$\frac{2}{3}$a_n+1），
化简得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-2，
又∵3a₁=2a₁+1，即a₁=1，
∴a_n=a₁•（-2）^n-1=（-2）^n-1；
②∵a_n+1=2a_n+4，
∴a_n+1+4=2（a_n+4），
即数列{a_n+4}是以2为公比的等比数列，
又∵a₁=1，∴a₁+4=5，
∴a_n+4=5×2^n-1，
∴a_n=5×2^n-1-4．

点评 本题考查求通项公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．