Question

已知点M（0，1）、A（1，1）、B（0，2），且

MP

=cosθ•

MA

+sinθ•

MB

(θ∈R)．
（I）求点P的轨迹方程；
（II）求过Q（1，3）与（1）中轨迹相切的直线方程．

Answer 1

分析：（I）利用坐标表示向量，利用向量的数量积，可得坐标之间的关系，进而可得点P的轨迹方程；
（II）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．

解答：解：（I）设P（x，y），则

MP

=（x，y-1），
又

MA

=（1，0），

MB

=（0，1），

MP

=cosθ•

MA

+sinθ•

MB

(θ∈R)
∴有（x，y-1）=（cosθ，sinθ），
∴

x=cosθ y-1=sinθ

，x²+（y-1）²=1．
（II）当斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
∵直线与圆相切，∴

|2-k|

k2+1

=1，∴k=

3

4

∴切线方程为3x-4y+9=0
综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+9=0．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．