Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=

3

2

，求边c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，并根据sinA的值不为0，即可求出cosA的值；
（2）由第一问求出的cosA的值及A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得出B+C的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B+

π

6

）的值，由A的度数求出B+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值得出B的度数，根据锐角三角函数定义即可求出c的值．

解答：解：（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得：
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分）
又B+C=π-A，
所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以cosA=

1

2

；…（6分）
（2）由cosA=

1

2

及0＜A＜π，可得：A=

π

3

，
∴B+C=π-A=

2π

3

，
由cosB+cosC=

3

2

，得cosB+cos(

2π

3

-B)=

3

2

，
即cosB-

1

2

cosB+

3

2

sinB=

3

2

，
可得：sin(B+

π

6

)=

3

2

，…（8分）
由A=

π

3

，知B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
于是B+

π

6

=

π

3

或B+

π

6

=

2π

3

，
所以B=

π

6

或B=

π

2

，…（10分）
若B=

π

6

，则C=

π

2

，
在直角△ABC中，sin

π

3

=

1

c

，
解得：c=

2 3

3

；
若B=

π

2

，在直角△ABC中，tan

π

3

=

1

c

，
解得：c=

3

3

．…（12分）

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，诱导公式，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．