Question

已知二次函数f（x）满足：函数f（x+1）为偶函数，f（x）的最小值为-4，函数f（x）的图象与x轴交点A，B的距离为4．
（1）求二次函数f（x）的解析式；      
（2）求函数f（x）在区间[t，t+2]的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，设出函数的解析式，根据函数f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与x轴交点A，B的距离为4，即可求得二次函数f（x）的解析式；      
（2）结合函数的对称轴，分类讨论，确定函数在区间[t，t+2]上的单调性，即可求得函数f（x）在区间[t，t+2]的最大值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）的最小值为-4，∴可设f（x）=a（x-h）²-4（a＞0）…（2分）
∴f（x+1）=a（x+1-h）²-4
∵函数f（x+1）为偶函数
∴函数f（x+1）的对称轴为x=h-1=0
∴h=1          …（4分）
∴f（x）=a（x-1）²-4
由f（x）=a（x-1）²-4=0，可得x₁=1-

4 a

，x₂=1+

4 a

，
∴A、B的距离为|x₁-x₂|=2

4 a

=4
∴a=1
∴f（x）=（x-1）²-4…（6分）
（2）∵f（x）=（x-1）²-4，∴
①t≥1时，f（x）在区间[t，t+2]上递增，∴f（x）|_max=f（t+2）=t²+2t-3…（7分）
②0≤t＜1时，f（x）在区间[t，1]上递减，在[1，t+2]上递增，∴f（x）|_max=f（t+2）=t²+2t-3…（8分）
③-1≤t＜0时，f（x）在区间[t，1]上递减，在[1，t+2]上递增，∴f（x）|_max=f（t）=t²-2t-3…（9分）
④t＜-1时，f（x）在区间[t，t+2]上递减，∴f（x）|_max=f（t）=t²-2t-3…（10分）
综上述，g（t）=

t2+2t-3，t≥0 t2-2t-3，t＜0

…（12分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查待定系数法的运用，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论，确定函数的单调性是关键．