Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）令g（x）=f′（x），若曲线g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴分别交于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）先对f（x）求导，由题意可得，f′（1）=0，代入求a
（2）求函数f（x）的定义域，令f′（x）＞0，f′（x）＜0分别解出函数的单调增区间、减区间
（3）求g（1）=f′（1）及g′（x），然后求切线的斜率k=g′（1），写出切线方程，求出A，B，进一步求结果．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，
所以f′(x)=

a

x+1

+2x+2．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，a=-8．
经检验a=-8时，函数f（x）在x=1处取得极值，
所以a=-8．
（Ⅱ）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）²，f′(x)=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
而函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（-1，1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由于g(x)=f′(x)=

-8

x+1

+2x+2，
所以g′(x)=

8

(x+1)2

+2，当x=1时，g′（1）=4，g（1）=0．
所以切线斜率为4，切点为（1，0），
所以切线方程为y=4（x-1），即4x-y-4=0．
令x=0，得y=-4，令y=0，得x=1．
所以△AOB的面积S=

1

2

×|-4|×1=2

点评：本题考查了导数的应用：极值在x₀存在的性质，f（x₀）=0；求函数的单调区间：即解f′（x）＞0，f′（x）＜0；导数的几何意义：函数在x₀处的导数f（x₀）为该点的切线斜率．属于基础知识的综合运用．