Question

已知a＞0，b＞0，且a+b="1." 求证: (a+)(b+)≥.

Answer 1

证明略

证法一:(分析综合法）
欲证原式，即证4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，
即证4(ab)²－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.
证法二：(均值代换法)
设a=+t₁，b=+t₂.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜，|t₂|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.
证法三:(比较法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

证法四：(综合法)
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.
   
证法五：(三角代换法）
∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0，)