Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0，且a＞b＞c．
（1）求

c

a

的取值范围；
（2）设该函数图象交x轴于A、B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=0，可得a，b，c的关系，再根据a＞b＞c，将其中的b代换成a表示，即可求得

c

a

的取值范围；
（2）设出A、B两点的坐标，则得到f（x）=0的两个根，根据韦达定理，将|AB|转化成用两个根表示，然后转化成用

c

a

表示，运用（1）的结论，即可求得|AB|的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=0，
∴f（1）=a+b+c=0，
∴b=-（a+c），
∵a＞b＞c，
∴a＞-（a+c）＞c且a＞0，c＜0，
解得-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴

c

a

的取值范围为-2＜

c

a

＜-

1

2

；
（2）∵函数f（x）的图象交x轴于A、B两点，
∴设A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁，x₂为f（x）=0，即ax²+bx+c=0的两个根，
根据韦达定理，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
则|AB|=|x₁-x₂|=

|x1-x2|2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac a2

=

(-a-c)2-4ac a2

=

(a-c)2 a2

，
∵a＞0，c＜0，
∴a-c＞0，
∴|AB|=

a-c

a

=1-

c

a

，
由（1）知，-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴

3

2

＜1-

c

a

＜3，即

3

2

＜|AB|＜3，
∴|AB|的取值范围为（

3

2

，3）．

点评：本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．