Question

已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的x、y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证:f(0)=0;

(2)求证:f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数;

(3)若当x＞0时,f(x)＜0.

①试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明之;

②判断函数|f(x)|=a所有可能的解的个数,并求出对应的a的范围.

Answer 1

解析:(1)证明:令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.?

(2)证明：令y=-x,则f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数;?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,则x₂-x₁＞0.?

f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0.?

∴f(x₂)＜f(x₁).

∴函数f(x)为(-∞,+∞)上的减函数.?

②显然本题中的函数f(x)在R上单调递减,f(0)=0,所以|f(x)|≥0,判定|f(x)|=a的解的个数也就是判定y=|f(x)|与y=a的图象交点个数.

当a＞0时，有两解；?

当a=0时，有一解；?

当a＜0时，无解.

答案:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0).?

(2)令y=-x,则f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),?

故f(x)为奇函数.?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x₁＜x₂,则x₂-x₁＞0,?

f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0,?

则f(x₂)＜f(x₁),?

所以该函数f(x)为(-∞,+∞)上的单调减函数.

②当a＞0时,有两解;

当a=0时,有一解;

当a＜0时,无解.