Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵3a_n+1+2S_n，①
∴当n≥2时，3a_n+2S_n-1=3．②
由 ①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0．
∴，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得 ．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列．
∴，（n为正整数）．…（7分）
（Ⅱ）∵数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，
∴=，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤，
∵数列{1-}单调递增，当n=1时，数列中的最小项为，即
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．…（14分）
分析：（Ⅰ）由3a_n+1+2S_n，知3a_n+2S_n-1=3．故3a_n+1-3a_n+2a_n=0．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤，由此能求出实数k的最大值．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和等比数列前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列与不等式的综合应用．