题目内容

记单位圆内接正n边形的边长为an(n∈N+，n≥3)，则(2-
a
2
24
)2-(2-
a
2
16
)2=
 
．
分析：求出单位内接正n变形的边长，然后利用半角公式计算出a242和a162，最后代入要求解的式子得到答案．
解答：解：因为圆内接正n边形的每条边对应的圆心角都为
360°
n
．
则单位圆内接正n边形的边长为an=2sin
180°
n
．
所以a24=2sin
180°
24
=2sin7．5°．
又sin7．5°=
1-cos15°
2
=
1-
6
+
2
4
2
=
4-
6
-
2
8
．
所以(2-a242)2=(2-4×
4-
6
-
2
8
)2=(
6
+
2
2
)2=2+
3
．
a16=2sin
180°
16
=2sin
45°
4
．
sin
45°
4
=
1-cos
45°
2
2
=
1-
1
2
2+
2
2
=
1
2
2-
2+
2
．
所以(2-a162)2=(2-2+
2+
2
)2=2+
2
．
所以(2-
a
2
24
)2-(2-
a
2
16
)2=2+
3
-2-
2
=
3
-
2
．
故答案为
3
-
2
．
点评：本题考查了圆内接正n边形的边长的求法，考查了三角函数的倍半角公式，考查了学生的计算能力，属中档题．
练习册系列答案
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