Question

已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案；
（Ⅱ）函数g（x）在区间（a，3）上有最值，说明函数g（x）在区间（a，3）上先增后减或先减后增，解不等式g′（a）•g′（3）＜0，g′(0)=-1＜0，故∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

，再解关于a的不等式恒成立，可得m的取值范围；
（Ⅲ）令a=1得f（x）=lnx-x-3，再利用（I）中单调性的结论得出当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），即ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，取自变量x=

1

n2

得ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

，再分别取n=2，3，…，n，将n-1个不等式累加可得要证的不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

-a，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，

1

a

），减区间为（

1

a

，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；
（Ⅱ）g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]=x3+(

m

2

+a)x2-x，
∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上不总是单调函数，
又g′(0)=-1∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，
∴m＜

1-5a2

a

=

1

a

-5a，因为a∈[1，2]，所以m＜-

19

2

，
对任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-

32

3

∴-

32

3

＜m＜-

19

2

（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），
∴lnx＜x-1对一切x∈（0，+∞）成立，
∴ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，则有ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

，
∴ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜

1

22

+

1

32

++

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调区间、最值等问题，同时还考查了函数与不等式的综合问题，属于难题．