Question

双曲线

x2

a2

-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上，PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦，o为坐标原点，则

OP

•

OQ

等于（　　）

• A、0
• B、-1
• C、1
• D、与PQ的位置及a的值有关

Answer 1

分析：由双曲线

x2

a2

-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上，能够推导出a²=3．再利用双曲线的性质和向量的娄得积公式能够推导出

OP

•

OQ

．

解答：解：取双曲线

x2

a2

-y2=1的虚轴端点B（1，0）与焦点F（

a2+1

，0），则BP的中点坐标的横坐标x0=

1+ a2+1

2

，
∵BP的中点在双曲线的准线x=

a2

a2+1

上，∴

1+ a2+1

2

=

a2

a2+1

．解得a²=3．
∵PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦，
∴可设P(x0，

3

3

x0)  ，Q(x0，-

3

3

x0)，则

OP

•

OQ

=x02-

1

3

x02=

2

3

x02．
故选D．

点评：本题考查双曲线的端点坐标、准线方程和向量的数量积，在解题过程中要注意合理选取公式．