Question

【题目】已知等差数列的公差大于0，且，是方程的两根，数列的前项和为，且.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】

（1）根据韦达定理可构造方程组求得和，从而得到公差和，根据等差数列通项公式可得；利用可证得为等比数列，根据等比数列通项公式求得；（2）通过列举的结果可猜想当时，；根据数学归纳法的基本步骤，依次证明时成立，在成立的前提下时也成立，从而使问题得以解决.

（1）由韦达定理可得

因为的公差大于，所以，所以，

，又

可得：

因为，所以

当时，

所以，化简得

所以是首项为，公比为的等比数列，即

所以，

（2）因为，所以，

下面比较与的大小：

当时，，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以.

猜想：当时，

下面用数学归纳法证明：

①当时，，，所以成立；

②假设当时，，即

那么，当时，

所以当时，也成立．

由①②可知，对任何，，都有成立

综上所述，当时，；当时，