Question

已知函数f（x）=log4(7+6x-x2)
（1）写出f（x）的单调递增区间，并证明．
（2）在f（x）的单调递增区间上，求f（x）的反函数f ^--1（x）．

Answer 1

分析：（1）f（x）的单调递增区间（-1，3]，设3≥x₂＞x₁＞-1，化简f（x₁）-f（x₂） 的解析式，判断符号小于零，可得f（x）在（-1，3]上是增函数．
（2）由于f（x）的单调递增区间为（-1，3]上，可得 0＜f（x）≤2．由原函数的解析式求得 x=3-

16-4y

，从而求得反函数f ^--1（x）．

解答：解：（1）f（x）的单调递增区间（-1，3]．
证明：设3≥x₂＞x₁＞-1，f（x₁）-f（x₂）=log4(7+6x1 -x12)-log4(7+6x2 -x22)=log4

7+6x1 -x12

7+6x2 -x22

．
∵

7+6x1 -x12

7+6x2 -x22

-1=

7+6x1 -x12-(7+6x2 -x22)

7+6x2 -x22

=

(x 2 -x1 )(x1+x2 -6)

7+6x2 -x22

＜0，
∴0＜

7+6x1 -x12

7+6x2 -x22

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-1，3]上是增函数．
（2）由于f（x）的单调递增区间为（-1，3]上，可得 0＜f（x）≤2，
∵f（x）=log4(7+6x-x2)，
∴7+6x-x²=4^y，（x-3）²=16-4^y，
∴x=3-

16-4y

，
∴f（x）的反函数f ^--1（x）=3-

16-4x

 （ 0＜x≤2）．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，求一个函数的反函数的方法，注意反函数的定义域是原函数的值域，属于中档题．