Question

（1）若函数f(x)=

x+a

2x2+bx+3

在[-1，1]上是奇函数，求f（x）的解析式
（2）已知函数f（x）是定义在（-5，5）上的奇函数又是减函数，试解关于x的不等式f（3x-2）+f（2x+1）＞0．

Answer 1

分析：（1）要求f（x）的解析式，可用函数f(x)=

x+a

2x2+bx+3

在[-1，1]上是奇函数，利用f（0）=0，f（-1）=-f（1）求得a，b即可；
（2）利用f（x）奇函数，只需将f（3x-2）+f（2x+1）＞0化为f（3x-2）＞-f（2x+1）=f（-2x-1），再利用f（x）是定义在（-5，5）上的减函数，可得-5＜3x-2＜-2x-1＜5，从而可求得x的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）在[{-1，1}]上为奇函数
∴f（0）=0，f（{-1}）=-f（1）
解得a=b=0，
∴f（x）=

x

2x2+3

∵f（-x）=

x

2x2+3

=-f（x）
∴f（x）=

x

2x2+3

即为所求．
（2）由f（3x-2）+f（2x+1）＞0得，f（3x-2）＞-f（2x+1）
因为f（x）是定义在（-5，5）上的奇函数又是减函数，
所以f（3x-2）＞f（-2x-1）
所以-5＜3x-2＜-2x-1＜5
解得-1＜x＜

1

5

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考察学生对函数的奇偶性与单调性的理解与灵活应用，属于中档题．