题目内容

已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
2
3
3
，且2a2=3c，若双曲线C上的点P满足
PF1
•
PF2
=1，则|
PF1
|•|
PF2
|=（　　）
分析：先确定双曲线中的几何量，再利用数量积的定义，余弦定理及双曲线的定义，即可求得结论．
解答：解：∵双曲线的离心率e=
2
3
3
，∴
c
a
=
2
3
3

∵2a2=3c，∴a=
3
，c=2
不妨设P再双曲线的右支上，
PF1
、
PF2
的夹角为α，|
PF1
|=m、|
PF2
|=n，则
mncosα=1
cosα=
m2+n2-16
2mn
m-n=2
3

整理得
m2+n2=18①
m-n=2
3
②
，①2-②得2mn=18-12
∴mn=3，即|
PF1
|•|
PF2
|=3
故选C．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查数量积的定义，余弦定理及双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•许昌三模）已知双曲线c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距为c，过左焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左、右支各有一个交点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的线段长大于
2
2
3
be2．（e为双曲线c的离心率），则e的取值范同是
（
2
，
3
）
（
2
，
3
）
．
（2009•宁波模拟）已知双曲线
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的离心率的范围是数集M，设p：“k∈M”； q：“函数f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域为R”．则P是Q成立的（　　）
已知双曲线
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的离心率的范围是数集M，设p：“k∈M”； q：“函数f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域为R”．则P是Q成立的（　　）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
已知双曲线c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距为c，过左焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左、右支各有一个交点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的线段长大于
2
2
3
be2．（e为双曲线c的离心率），则e的取值范同是______．

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