Question

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时是单调函数，则满足f(2x)=f(

x+1

x+4

)的所有x之和为

-8

．

Answer 1

分析：f（x）为偶函数推出f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数推出f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根与系数的关系进行求解；

解答：解：∵f（x）为偶函数，f（2x）=f（-2x）且当x＞0时f（x）是单调函数，
又满足f(2x)=f(

x+1

x+4

)，
∴2x=

x+1

x+4

或-2x=

x+1

x+4

，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，
∴x₁+x₂=-

7

2

或x₃+x₄=-

9

2

，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-

7

2

-

9

2

=-8，
故答案为-8；

点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（-x）=f（x）②增函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；减函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）．